【摘要】跨期套利策略是统计套利策略在期货市场应用的代表，国内文献对其的研究主要集中在基于协整方法的跨期套利策略，并表明国内股指期货市场存在跨期套利的空间。但是由于协整方法的局限，其策略很难在实践中实现。本文针对基于协整方法的跨期套利的不宜实现性做出改进，并将两种方法的绩效进行对比，结果表明基于Z-score的跨期套利策略不论在策略可行性还是盈利性方面均优于基于协整方法的跨期套利策略。
【关键词】统计套利 跨期套利 协整 Z-score
一、引言
统计套利策略是国外市场上较为成熟的策略，广泛运用于股票、期货以及外汇的交易之中。期货中的跨期套利策略就是统计套利策略在期货方面应用的代表。统计套利策略20世纪80年代最早由Morgan Stanley的Nunzio Tartaglia研发并投入使用，取得了巨大的成功，当时主要应用于股票领域。统计套利策略的实施过程首先需要找到两种走势相近的资产构建价差组合并要求其价差是一个平稳过程，具有均值回复的属性，在价差偏离均值一定距离时对价差进行交易并预期价差将会回到均值附近从而获利。不同到期日的股指期货合约都以沪深300指数为标的，具有实施统计套利策略的先天优势。近年来，随着我国股指期货市场的逐渐活跃以及网络技术的改善，统计套利策略的竞争也进入了分钟级别，成为高频交易商的最爱。
关于统计套利实施方法的研究主要包括以下三个方面：①距离方法：Gatev et al.（2006）应用该方法对1962～2002年间的股票市场日数据进行了检验，结果表明年化收益率达到了11%。距离方法的好处在于简单易用并且不需要任何估计，但其不足之处在于无法保证价差序列的平稳性，忽视了价差过程的动态性。②协整方法：Vidyamurthy（2004）对于协整方法做了较为详细的论述；仇中群，程希骏（2008）应用协整方法分析股指期货1分钟高频仿真交易数据，发现协整方法在股指期货的跨期套利中具有一定的盈利空间。③随机价差方法：Elliot et al.（2005）从价差服从vasicek过程为前提，推导得出交易信号的确立机制。
本文主要对仇中群，程希骏（2008）基于协整方法的跨期套利策略做出改进，构建一个基于Z-score的更加具有可行性的交易策略。
二、跨期套利的协整方法
仇中群，程希骏（2008）判断协整关系的方法属于Engle- Granger两步法，其方法可表述如下：
假设有两时间序列Yt和Zt。
①估计Yt=α1+β1Zt+e1t或者Zt=α2+β2Yt+e2t。
②对e1t或者e2t进行单位根检验。
如果e1t或者e2t为不含单位根的平稳序列，则Yt和Zt存在协整关系。
仇中群，程希骏（2008）在进行检验时使用了IF0806和IF0807两张合约在08-05-19到08-05-21内共816分钟的一分钟对数价格。对第101～700分钟的数据进行估计之后得到lnF2=0.8490250108lnF1 +1.331246397+resid1。假设前600分钟的协整关系在第701～800分钟仍然延续，取resid2=lnF2-0.8490250108lnF1-1.331246397，可认为resid2和resid1具有相同分布，且都是均值为0的白噪声。令resid3=resid2/var（resid1）作为交易信号衡量价差偏离协整关系的程度。
交易策略可以表述为当resid3的绝对值超过1再回落到1时开仓；开仓后当resid3回落到0时平仓；开仓后当resid3的绝对值超过2时止损出场，避免价差偏离协整关系过远而导致账户爆仓。为了与后面基于Z-score的交易策略保持一致，将该策略改为当resid3的绝对值超过1时开仓；开仓后当resid3回落到0时平仓。
三、协整方法的交易表现
本文选取了2012年全年当月连续和下月连续数据，共59670分钟（数据来源：RESSET数据库）。考虑到样本时间跨度较长，期间协整关系可能会出现变化，因此采取动态估计的方法，将样本分为多个周期，每个周期内包含估计期和交易期。估计期内对数据进行协整检验，得出相应参数后在交易期内假设协整关系保持不变，并根据上一部分提到的方法进行交易。交易期结束之后再次对协整关系进行检验，如此重复。
假设初始资金为100万元，每次只交易一手价差组合，无交易成本。选取样本前60%的数据，即35800分钟数据作为样本内数据，以最大夏普比率为目标函数，对检验期M与交易期N两个参数进行优化，得到M=1020，N=40，sharp ratio=1.65。以M=1020，N=40对全年数据进行模拟，最后得到年化收益率20.6%，夏普比率1.53。
尽管基于协整方法的统计套利策略在没有交易成本的情况下取得了20.6%的收益率与1.53的夏普比率，但是这一策略在实践中很难执行。以仇中群，程希骏（2008）得到的回归方程为例：resid2 =lnF2-0.8490250108lnF1-1.331246397，假设我们需要卖空该价差组合，则我们需要卖出1手IF0807，买入0.8490250108手IF0806，非整数倍数的合约数量我们无法进行交易。为了实现1/0.85的对冲比率，我们必须卖出20手IF0807，买入17手IF0806。在分钟级别的统计套利策略中买卖如此大量的合约将会导致交易成本吞噬掉我们大部分的利润。
四、基于Z-score的交易策略
为了使交易策略在实践中可行，我们需要构建一个整数的对冲比率。协整模型的思想是找到一个对冲比率β，使得Yt=α+βZt +et中的残差et成为一个平稳过程，即通过调整β使残差平稳，然后根据残差得到交易信号。统计套利策略的要点在于交易信号的平稳性而不是残差的平稳性，我们可以设定β不变得到一个不平稳的残差序列，然后对残差序列进行调整得出我们需要的平稳交易信号。基于这种想法，我们不妨先将对冲比率设定为1，然后对其残差序列进行调整，使其成为一个平稳序列，最后据此得出可以用来交易的信号。
这里仍然使用2012年度当月连续与下月连续的1分钟数据。为了构建一个适合交易的平稳交易信号序列，我们采用Z-score对价差序列进行调整，调整后的信号序列为■。其中St为价差序列。Mean（St）为样本均值，Std（St）为样本标准差。选取20为时间窗口，并向前滚动，计算价差序列的Z-score。
据此我们构建交易策略如下：当|Zt|>1时开仓，当Zt回到0时平仓。得到年化收益率25.7%，夏普比率10.5，相比基于协整模型的交易策略，收益率提升25%，夏普比率则提高了586%。我们选取不同的阀值与时间窗口长度对交易策略的收益率和夏普比率进行分析。发现阀值对于策略的收益率和夏普比率有着最重要的影响，而时间窗口的长度则对交易策略的表现影响不是很显著，阀值的选择是整个策略成功与否的关键。阀值直接关系到策略产生交易信号的多少，从这一点也可以看出交易次数对套利策略的重要影响。不论从收益率还是夏普比率方面考虑，阀值为1，时间窗口长度为20时策略的表现都是最佳的。同时策略的收益率与夏普比例直接保持了良好的比例关系，说明风险在一定程度上维持不变，跨期套利策略很好得控制了风险。
五、结论
从上面的结果来看，基于协整方法的股指期货跨期套利策略拥有非常不错的表现。但是非整数的对冲比例导致它在股指期货跨期套利的实际应用中面临着障碍，这也导致了基于协整方法的统计套利模型主要应用于外汇市场之中。基于Z-score的跨期套利策略通过将不平稳的残差平稳化得到交易信号的方法回避了这一障碍。
与基于协整方法的跨期套利策略相比，基于Z-score的跨期套利策略的交易信号更加平稳，更加符合统计套利策略盈利的原理。两种策略的盈利水平差别不是很大，但是夏普比率后者则显著强于前者。不论从实际可操作性还是策略表现来看，基于Z-score的跨期套利策略均优于基于协整方法的跨期套利策略。
参考文献
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[4]Vidyamurthy G.Pairs trading：quantitative methods and analysis [M].New Jersey：John Wiley & Sons， Inc.2004.
[5]仇中群，程希骏.基于协整的股指期货跨期套利策略模型[J].系统工程，2008（12）：26-29.
[6]王伟峰，刘阳.股指期货的跨期套利研究——模拟股指市场实证[J].金融研究，2007（12）：236-241.
[7]杨立勇，王海侠.基于统计套利思想的股指期货跨期套利[J].经济数学，2012（2）：61-65.
作者简介：李伦（1991-），男，汉族，湖北洪湖人，华东政法大学商学院硕士研究生在读，研究方向：量化投资。