摘要：本文结合经济管理类专业的实际，给出从几何问题出发证明微分中值定理的思维过程，使得所讨论的问题的条件与结论都易于理解，证明中值定理过程中通常认为不易想到的作辅助函数的困难也变得易于接受。
关键词：微分中值定理；几何现象；辅助函数
中图分类号：G642.1 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）02-0198-04
一元实值函数的微分中值定理，包括费马（Fermat）中值定理、罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理、泰勒（Taylor）定理（含马克劳林（Maclaurin）公式）、洛必达（L"Hospital）法则以及达布（Darboux）定理，它们构成微分学的理论核心，在数学分析中处于十分重要的地位。微分中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。微分中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。在经济数学教材中，微分中值定理一般只介绍三个定理——罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，然而在学习过程中它又是学生较难理解和掌握的知识。微分中值定理搭起了运用导数知识去研究函数性态的一座桥梁，是应用导数的局部性质研究函数在某区间的整体性质的重要工具。借助微分中值定理可研究函数的单调性、极值、最大值和最小值、函数曲线的凹凸性及其拐点等各种性质。由于微分中值定理的重要作用以及理解和掌握较难，因此研究其教学方案一直受到教师的普遍关注。传统的做法是在罗尔定理的基础上，用构造辅助函数的方法证明拉格朗日中值定理，进一步再构造辅助函数证明柯西中值定理，其难点在于构造辅助函数。不少作者撰写文章介绍构造辅助函数的新思维、新方法（如利用叠加函数的方法构造辅助函数等）；有些作者则利用费尔马求最值的方法及达布定理先证明柯西中值定理，再推出拉格朗日中值定理进而推出罗尔定理；又有些作者在证明了罗尔定理后立即得到两个推论，从而容易构造出辅助函数证明柯西中值定理进而推出拉格朗日中值定理；还有些作者将微分中值定理表述成矢量形式再予以证明并加以推广。这些证明微分中值定理的方法思路清晰、论证严密，因而得到普遍使用。虽然辅助函数的作法构思别致但不易想到。本文结合经济管理类专业的实际，根据直观性原则，给出从几何问题出发学习微分中值定理的思维设计，从而达到易于理解微分中值定理的条件与结论的目的。
一、曲线有水平切线——导出罗尔定理
首先观察图1，在平面直角坐标系里有一条连续的曲线ACB，其函数y=f（x）（x∈［a，b］），两个端点分别记为A，Ｂ，这条曲线除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，即f（a）=f（b）.不难看出在曲线的最高点C处（还有最低点），曲线有水平的切线，这条切线正好与端点的连线AB平行（弦AB的斜率kAB=0）.如果记C点的横坐标为ξ，那么由导数的几何意义可以得f"（ξ）=0.用分析的语言来描述这一几何现象就可得到——
罗尔定理 若函数f（x）满足条件：
（1）在闭区间［a，b］上连续；
（2）在开区间（a，b）上可导；
（3）f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f"（ξ）=0.
证：因为f（x）在［a，b］上连续，所以由连续函数的最大最小值原理知，f（x）在［a，b］上可取到最大值M和最小值m，现在分两种情况分别讨论如下：
1.若M=m，则f（x）≡M（或m），此时该函数f（x）为常数函数，故其导数恒等于零。于是在（a，b）上任意取一点ξ，都有f"（ξ）=0.
2.若m＜M，即最大值与最小值不相等，而两个端点的函数值相等，从而至少有一个最值不在端点取得。不妨设最大值不在端点取得。从而知存在ξ∈（a，b），使得f（ξ）=M.以下来证明f"（ξ）=0.
由于f（ξ）=M是最大值，所以恒有f（ξ+Δx）-f（ξ）≤0，ξ+Δx∈（a，b）.
当Δx＞0时，有 ■≤0，则f"（ξ）=■■≤0； （1）
当Δx＜0时，有■≥0，则f"（ξ）=■■≥0；（2）
由于式（1）、（2）同时成立，从而有f"（ξ）=0.
综合以上两种情况，罗尔定理得证。
从罗尔定理的导出可以看出，利用几何直观对于问题的条件与结论都易于理解。就经济管理类专业而言，其证明即使未完全掌握，也完全可以弄清罗尔定理的条件与结论。
二、曲线有倾斜切线——导出拉格朗日中值定理
以下再来观察图2，在平面直角坐标系里有一条连续的曲线ACB，其函数为y=f（x）（x∈），两个端点分别记为A、B，这条曲线除端点外处处有不垂直于x轴的切线，不难看出在曲线的C处（图中还有一处）有切线平行于两端点的连线AB.如果记C点的横坐标为ξ，那么由导数的几何意义知ξ处的切线斜率为f"（ξ），而弦AB的斜率为kAB=■，于是有f"（ξ）=■.
综上所述可知，平面内以A、B为端点的连续曲线弧处处有不平行于y轴的切线时，则在曲线内至少有一点，其切线平行于弦AB.用分析的语言来描述这一几何现象就得到下面微分学中十分重要的——
拉格朗日中值定理 若函数f（x）满足下列条件：
（1）在闭区间［a，b］上连续；
（2）在开区间［a，b］上可导；
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f"（ξ）=■.
分析 将坐标系绕原点在平面内的旋转，使得在新坐标系“XOY”下，线段AB平行于新坐标系的X轴，于是就有了F（a）=F（b）.F（x）的几何意义，正是曲线 y=f（x）与直线AB：y=f（a）+■（x-a）之差，这样就有了作辅助函数的方法。
证：作辅助函数F（x）=f（x）-f（a）-■（x-a），易知，F（a）=F（b）=0，且F（x）在［a，b］上满足罗尔定理的另外两个条件，故存在点ξ∈（a，b），使得F"（ξ）=f"（ξ）-■=0，即f"（ξ）=■，定理得证。
从拉格朗日中值定理的导出同样可以看出，利用几何直观对于问题的条件与结论都易于理解。就经济管理类专业而言，证明过程中辅助函数的作法一般不易想到，但定理的条件与结论是直观的，而且是不难接受的。
关于拉格朗日中值定理，再作以下几点说明：
（1）从几何直观上看，易知罗尔定理是拉格朗日中值定理当f（a）=f（b）时的特例；
（2）该问题是将一般情况转化为特殊情况，将复杂问题转化为简单问题的论证思想，它是数学中重要而常用的数学思维方法。这里又是通过几何直观来提供一个构造辅助函数的方法的思路，使得粗象的构造辅助函数的思想变得直观而易于理解；
（3）拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：
f（b）-f（a）=f"（ξ）（b-a），ξ∈（a，b）；
f（b）-f（a）=f"［a+θ（b-a）］（b-a），θ∈（0，1）；
f（a+h）-f（a）=f"（a+θh）h，θ∈（0，1）；
（4）以下推论1实际上是利用拉格朗日中值定理研究函数的典型例子之一，从几何图形上看又是直观的：如图3，在平面直角坐标系中连续的曲线AMB的切线处处是水平的（即斜率满足f"（ξ）?堍0），则该曲线必定是一条水平的直线（即函数必为常数函数y=f（x）?堍c， （x∈［a，b］）.此时曲线上任意一点处切线与曲线重合。
推论1 若函数f（x）在区间（a，b）上的导函数f"（x）?堍0，则f（x）是一个常数函数。
证：对于区间（a，b）上的任何两点x1，x2，不妨设x1＞x2则在f（x）在［x1，x2］上满足拉格朗日中值定理的条件。根据该定理，有f（x2）-f（x1）=f"（ξ）（x1，x2）=0，这就是说，f（x）在区间（a，b）上的任何两个值都相等，所以为常数函数。
（5）以下推论２是利用拉格朗日中值定理研究函数的另一个典型例子之一，从几何图形上看同样是直观的：如图4，平面直角坐标系中的两条连续的曲线AMB、A"M"B"在区间（a，b）内处处有不垂直x轴的切线，且两曲线的切线处处是平行的（即斜率满足f"（ξ）=g"（ξ）（ξ∈a，b）），则两条曲线中的一条曲线y=f（x）是由另一条曲线y=g（x）轴方向平移得到的（即满足f（x）=g（x）+C）.
推论2 若函数y=f（x）和y=g（x）均在区间（a，b）上可导，且f"（x）=g"（x），其中x∈（a，b），则在区间（a，b）上，函数f（x）与g（x）只差一个常数，即存在常数C，使得f（x）=g（x）+C.
证：令F（x）=f（x）-g（x），由推论1，F（x）=C，所以有 f（x）=g（x）+C.
三、曲线由参数方程表示有切线——导出柯西中值定理
类似地，利用拉格朗日中值定理的几何意义及参数方程的知识可推出柯西中值定理。如图5，设该曲线的参数方程为X=g（x）Y=f（x） （a≤x≤b），其中x为参数。
那么曲线上的点（X，Y）处切线的斜率为■=■，弦AB的斜率为■，假设点C对应于参数x=ξ，那么曲线上点C处的切线平行于弦AB，可以表示为■=■.用分析的语言表示即为——
柯西中值定理 若满足条件：
（1）函数f（x），g（x）在闭区间［a，b］上连续；
（2）函数f（x），g（x）在开区间（a，b）上可导；
（3）在开区间g"（ξ）内不为零；则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得■=■.
证：首先由拉格朗日中值定理，知g（b）-g（a）=g（ξ）（b-a）≠0，类似于证明拉格朗日中值定理时分析作辅助函数的方法，作辅助函数：
F（x）=f（x）-f（a）-■（g（x）-g（a））"，
显然，F（x）满足罗尔定理的条件，所以存在点ξ∈（a，b），使得F"（ξ）=0，
即f"（ξ）-■g"（ξ）≠0；因为g"（ξ）≠0，从而有■=■.
不难看出，拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g（x）=x时的特例，柯西中值定理最重要的应用是导出求不定式极限的非常好用的洛必达法则。
有了微分中值定理，一些从几何现象上看并不直观的函数关系的数学命题，运用微分中值定理容易给出其理论证明，显示出了微分中值定理运用导数知识去研究函数性态的桥梁的重要作用，仅举以下几例：
例1 证明：当a＞b＞0时，■＜ln■＜■.
证 令f（x）=lnx，x∈［a，b］，则f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，由拉格朗日定理得■=■，（a＜ξ＜b），由于■＜■＜■，得■＜lna-lnb＜■，故■＜ln■＜■.
例2 证明：当x＞0时，成立不等式
■＜ln（1+■）＜■.
分析：注意到x＞时，ln（1+■）=ln（1+x）-lnx，则对于f（t）=lnt，在区间［x，1+x］上，有f（1+x）-f（x）=ln（1+x）-lnx，可考虑运用拉格朗日定理进行证明。
证明：令f（t）=lnt，则f（t）在［x，1+x］（x＞0）上满足拉格朗日定理条件，从而有f（1+x）-f（x）=f"（ξ）（1+x-x），（0＜x＜ξ1+x），即ln（1+x）-lnx=■.
因为0＜x＜ξ1+x，所以■＜■＜■，代入上式得■＜ln（1+x）-lnx＜■，即■＜ln（1+■）＜■，（x＞0）.
例3 当x＞0时，试证：若ex=1+xexθ（x）（其中0＜θ（x）＜1），则■θ（x）=■.
分析：移项可得ex-1=xexθ（x），易知，等式左边为函数 f（t）=e"在［0，x］上的增量形式，而右边与θ（x）有关，可考虑运用拉格朗日定理进行证明。
证明：令f（t）=e"，则当x＞0时，f（t）在区间［0，x］上满足拉格朗日定理条件，因此有f（x）-f（0）=f"（0+（x-0）θ（x）（x-0）），（0＜θ（x）＜1），由上式，解得exθ（x）=■，即θ（x）=■ln■，故■θ（x）=■■ln■（■型）
=■（■·■）（ex-1与x等价）
=■■（■型）.
=■■=■.
参考文献：
[1]柴慧琤.微分中值定理证法的几何解释[J].数学通报，1991，（2）.
[2]同济大学应用数学系.高等数学上册（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3]龚友运，等.高等数学第一册（第3版）[M].武汉：华中科技大学出版社，2006.