摘要：以“数列的实际应用”为例，开展高中数学教学中渗透职业生涯规划教育的实践研究，通过创设情境、小组合作、交流分享、构建模型等方式，将数学中的数列知识与职业规划能力的培养有机融合。
关键词：高中数学教学；职业生涯规划；数列的实际应用
一、教材及背景分析
数列是一个古老的数学内容，也是近代数学研究的重要对象。同时，数列是高中数学的重要内容之一，是学生将来学习高等数学的基础，它的基础性和发展性都是不言而喻的。
数列的研究源于现实生产、生活的需要，它可以看成定义在正整数集或其有限子集上的函数，是刻画离散过程的重要数学模型。数列在经济生活和资源计算等领域，有着广泛的应用，在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面的问题中有着无可比拟的优势，是解决物理、化学、生物、地理等学科中相关问题的有利工具。
因此，对于数列的实际应用的研究，有助于培养学生的建模能力、发展应用意识。通过本节课，学生体会到数学知识和思维能力对解决实际问题的重要性，进一步激发学习数学知识的热情，认识到数学知识、思维能力、数学思想方法对人们生产、生活的重要影响。通过思维与能力的提升，学生对自己的能力、兴趣有一个再认识，拓展专业选择与职业选择的视野。数学学科的课堂渗透，助力学生客观地做好人生规划。
本节课前学生通过小组收集资料，充分感受到数学和生产、生活的各个方面息息相关，认识到数学的实际价值，体会数学作为基础学科的重要地位，拓宽其专业选择与职业选择的视野；学生在解决实际题目的过程中，形成科学严谨的思维方式，养成“数学使人周密”的性格，终身受益；教学环节中学生通过自主探究、合作交流解决问题，一方面提高自身的数学建模能力，提高应用意识和实践能力，一方面使学生对自身的观察能力、表达能力、逻辑思维能力等有再认知及评估，为其日后的发展指明方向。
二、教学目标
（一）知识与技能目标
1援能构建等差数列、等比数列模型解决实际问题；
2援提高观察、分析、概括、运算、数学建模及应用能力，能通过类比、转化等方法解决有关数列的一些问题。
（二）过程与方法目标
学生通过课前收集有关资料，经历发现等差、等比关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，体会它们的广泛应用。
（三）情感、态度与价值观目标
1援使学生认识到数学来源于生活实践，学会从生活实际中发现数学规律，体会数学美；
2援使学生了解我国数学家对数列的贡献，培养学生的爱国热情；
3援通过了解数学家对数列问题的锲而不舍的探索过程，培养学生学习数学的兴趣；
4援养成收集资料、自主探索、合作交流的学习习惯，提高数学建模能力，提高应用意识和实践能力；
5援通过数学在各个领域的广泛应用，使学生充分认识到数学是其职业发展的基石，对其未来进行职业选择起到了基础性决定作用。
三、教学重点和难点
重点：通过数列知识的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学生建立数学模型解决实际问题的能力。
难点：根据实际问题，建立相应的数列模型。
四、前期准备
（一）将学生分成五个小组，分别从以下几个领域收集“数列的应用”的相关资料：
天文学；
物理、化学等学科的渗透；
生物保护：例如利用斐波那契数列研究植物叶序深层组织结构关系等；
经济生活：例如存款、贷款问题、政府房屋改善问题、国民生产总值问题；
资源分配：例如可再生资源年使用量与年开采量之间的数量关系。
（二）学生根据所收集的资料，制作幻灯片。
五、教学过程
既然说到古代数学家的卓越成就，就让我们一起来欣赏两道古代的数列问题：
例1：今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？
例2：今有垣厚5尺，两鼠相对。大鼠日一尺，小鼠亦一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？
请分析以上两个问题，我们可以用学过的哪些数列知识来解决呢？
设计意图：以数列的发展简史开篇，让学生从整体上了解数列研究的重要性，以及体会古代数学家在数列方面的成就之大，增强民族自豪感；引入两道古代数列问题，在体现数学文化的同时，带领学生复习等差、等比数列的相关知识。
（二）小组展示，分享交流
我们欣赏并分析完这两道古代数列问题，接着让我们一起来看一下近现代数列在各个领域的广泛应用吧。在課前我们分成五个小组，每个小组分别从五个方面进行了资料的收集与整理，下面请各小组的代表上台分享他们的收获：
第一组：天文学（徐婷同学）（节选）
天文学是一门古老的科学，自有人类文明史以来，天文学就有重要的地位。天文学研究主要通过观测天体发射到地球的辐射，测定它们的位置，探索它们的运动规律以及组成结构。
（幻灯片展示数列）这个数列是由提丢斯提出，在推导出这个关系的时候，人们只发现了水星、金星、火星、木星及土星，这就留下了2.8、19.6及38.8这三个空余的D值。不久后，赫歇耳发现了天王星，它与太阳的距离刚好近似19.6，与提丢斯数列恰恰吻合。
其实，天文学家们陆续在其中发现了“谷神星”“智神星”“婚神星”“灶神星”等星体。这些围绕太阳公转的天体又恰好都在“提丢斯定则”的2援8区域内。显然，火星、木星之间存在的不只是一个小行星，而是一批小行星，即小行星带。
茫茫太阳系之中，为什么火星和木星之间的这个空缺处不是一颗大行星，而是一个小行星带呢？这众多的小行星是一颗大行星破裂的产物，还是在太阳系形成初期，没来得及积聚成一颗大行星的“半成品”呢？这仍旧是个谜，正需要我们中有志于天文的同学继续研究学习，在未来给予解答了。
教师总结：徐婷小组在天文学方面阐述了数列的应用，天文学家通过等差数列预测出了行星的位置。其实天文学是最早运用数学的科学领域，这可以追溯到2000多年前的古希腊时代。17世纪，牛顿创建的天体力学，其本质上也是数学的而不是物理学的。借助数学方法和计算技术，天体力学在当代获得了引人注目的成就。据我所知，北京大学和南京大学的天文系非常有名，有想从事天文工作的同学可以把这两所学校设定为自己的奋斗目标。
第二组：物理、化学（顾雪莹同学）（节选）
数列是高中数学的重要部分，其在物理中的应用具有一定的代表性。同时，在一定条件下，运用数列解决物理问题，可以显现物理现象的全过程，反映物理现象的变化趋势，揭示物理现象的变化规律，使我们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。
在热学中，例如：机械抽气机的抽气是利用体积膨胀来降低气压的。如果被抽容器的容积是抽气机活塞筒活动容积的2倍，那么在抽气动作20次后被抽容器内的压强可以通过构造等比数列模型计算。
在化学中，除了定性应用实验观察一些现象，分析实验现象得出相应的化学学科理论外，也可通过实验对一些化学理论进行实验验证。如果从理论上来分析化学，除了实验对化学的研究很重要外，进行定量的计算和分析也是化学学科向前发展的必要手段。我们可以将化学中的量的问题应用数学模型来解决，这是思维的一次飞跃，能够增强我们综合应用数学和化学知识的能力。
例如，有机化学中的计算，虽然并不多见，但是有机化合物都是指含碳的化合物，而碳元素形成化学键是有规律的，也就是碳元素在化合物中总是要形成4根共价键。根据这个原理，我们就可以把有机化合物中分子式的推断抽象成数学模型，应用数列的方法来进行分析和综合。
教师总结：物理化学要创新，不仅仅光靠实验，还要有数学作为理论基础，例如万有引力定律，质能方程的推导，化学中严格的定量计算，没有深厚的数学功底是不可能实现的。
第三组：生物学（张捷同学）（节选）
众所周知，数学在自然科学发展史上起着非常重要的作用。生物科学中的众多理论、定律等的提出也是建立在数学知识基础上的。
先举个例子，“能量传递率”。生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，只有一部分能量能够流动到下一个营养级。比如，草被食草动物吃掉，草中10%耀20%的能量被食草动物传递下去，食草动物身体中10%耀20%的能量又被食肉动物传递……在生物链中，我们可以构建等比数列模型来求得所需的最少能量。再比如，某類细胞30分钟分裂一次，我们可以通过构造等比数列模型研究这种细胞在某一时刻可以分裂成多少个细胞。
又如：我国遗传学家在研究异色瓢虫的鞘翅色斑遗传时，发现了19个基因，但控制瓢虫色斑的基因只有其中的两种，那么可以构建出多少种基因型呢？我们可以采取以下方法：以A到S19个字母代表19个基因，A可与全部19个基因中的任意一个组成一种基因型，共有19种组合；B可与剩余18个基因中的任意一个组成一种杂合基因型，共有18种；依次类推，共有19+18+17+ 16+15+…+2+1种基因型，这构成了公差为1的等差数列，利用等差数列求和即可得到结果。
教师总结：张捷小组在生物科学方面阐述了数列的应用，其实在生物学的发展过程中无处不是数学的烙印，没有强大的数学支持，生物学很难取得更高、更广、更有益于人类生活的发展。数学在生物领域的应用主要分为生物统计、数量遗传、数学生态和数量分类学四个方面，衍生出了生物数学等分支。我知道班级中有同学对生物非常感兴趣，为了以后在这方面能有所建树，数学的学习是必不可少的。
第四组：经济生活（张逸岚同学）（节选）
在以经济建设为中心的今天，人们对经济现象日益关注。经济中，不管是投资理财，还是风险把控，或是统计与概率等方面，都会用到数学中数列的知识。
单利的计算。单利就是指本金在一个阶段内所产生的利息。如果设本金为P，每期利率为I，期数为N，那么利息就可以表示为PxIN，本利和就可以表示为Px（1+I）N。我们不难发现，不管是利息数列还是本利和数列都是我们所学过的等差数列的模型。
复利的计算。复利与单利相比，融入了上一阶段所收获的利息的盈利。也就是说利滚利。如果设本金为P，期数为N，利率为I，则本利和就可以表示为Px（1+I）N。这就是我们所学过的等比数列的模型。
教师总结：数学作为经济研究的基础，可以说没有数学就没有现代的经济研究。张逸岚小组举了几个数列在经济生活中的应用案例，实际上，数学知识在物价、投资、经营中都起着重要的作用，它渗透在经济生活中的各个部分。伴随着经济的快速发展，数学所参与和运用的领域越来越广泛，例如国民经济、旅游经济、消费经济等都需要运用数学知识进行分析和解决问题。
第五组：资源利用（张馥铄同学）（节选）
在土地资源、森林资源等某些再生资源的利用方面，我们可以利用所学的数列知识，通过建立合适的数学模型进行分析，实现对资源的合理分配和有效利用。
在不可再生资源的利用方面，通常会遇到年使用量与年开采量之间的数量关系问题等，通过数列中的建模，可形成相应的等比数列和等差数列关系，从而进行相应的数列计算得到需要的答案。
例如：
可再生能源方面
自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用x表示某鱼群在第n年初的总量，n沂N*且x1>0不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c，则可利用数列的知识计算捕捞强度b的最大允许值。
生态问题
在我国，沙漠化主要集中在西部地区，带来了大面积的沙尘暴天气。所以，人们要进行土地荒漠化的治理。在有土地退化的同时，人们开始进行植被的恢复和造林工作。那何时我们能够解决某一地区的荒漠化问题？需要花费多长时间？花费多少人力和物力？这是我们提前所需要进行预估的。在这里，我们就可以将这个实际的问题转化为数学模型。
假定某地原有一定面积的沙漠，每年在自然环境的影响下，会有一定面积的沙漠增长，这时，每年的沙漠面积就构成了一个等差数列，我们可运用数学方法求得每年沙漠面积的总量。另一方面，人们在进行植树造林的工作，假定每年新改善的土地都与前一年的沙漠面积有一定的数量关系，所以每年人们改善的土地面积也会构成一个数列，通过数列求和的方法可求得该年及之前所有年份改善土地总量。在运用数学计算即可预估出改善环境所需年份。
设计意图：前期大量资料的查找以及在资料基础之上设计的数列应用问题，旨在培养学生收集资料、自主探索、合作交流的能力，以及用數学眼光看世界的意识，拓宽学生的专业选择及职业选择的视野。
（三）建立模型，实际应用
第五小组提出问题：
问题：某地区2010年底沙漠面积为9伊105hm2。地质工作者为了了解这个地区沙漠面积的变化情况，从2011年开始进行了连续五年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表：
请根据上表所给的信息进行预测：
（1）如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积将大约变成多少？
（2）如果从2016年初开始，采取植树造林等措施，每年改造8000hm2沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于8伊105hm2？
设计意图：让学生经历建立数学模型———解决数学问题———得到数学结论———回归实际问题的全过程，体会数列的实际应用。
（四）总结提升，布置作业
同学们，由于时间的关系，对于数列的实际应用我们不能尽情地分享交流。数列作为数学中离散数学的重要内容，不仅仅是高考考查的重点内容，也是我们未来学好高等数学的基础。而数学的基础性与应用的广泛性也决定了数学是未来我们从事各行各业的基础工具。今天我们的课虽然接近了尾声，但是我们对数学的学习与研究才刚刚开始，老师希望同学们能够以今天作为新的起点，认真学习数学知识，为你今后在各自的岗位上有所建树打下坚实的基础。
作业：写一篇《数列的实际应用》的体会与感受。
四、课后反思
1援高效的课堂，离不开教师的高效设计、指导和课堂的高效管理。本节课紧紧围绕“学生发展指导”展开教学，与学生互动对话，立足学科特点、学生发展，注重探究、应用和创新，注重学生职业规划，在课堂中优化思维，培养能力，增长智慧。
2.课前学生通过小组收集资料，充分感受到数学和生产、生活的各个方面息息相关，认识到数学的实际价值，体会到数学作为基础学科的重要地位，拓宽其专业选择与职业选择的视野。
3援教学环节中学生通过自主探索、合作交流解决问题，一方面提高自身的数学建模能力，提高应用意识和实践能力，一方面使学生对自身的观察能力、表达能力、逻辑思维能力等有再认知及评估，为其日后的发展指明方向。
4援由于课堂时间有限，数列所涉及的领域研究不够深入，学生有些意犹未尽的感觉。